每天一道数学题(2021.07.01)

题目设一映射 将平面上每一直线皆映射成其上一点,并且满足:对于平面上任意一点 和过这点的任意三条直线 ,都存在过点 的圆.证明:平面上存在唯一的一个点 ,满足对一切过点 的直线 ,均有 .解答依题意,容易得出对于每个点 ,存在一个过点 的圆 ​,使得对一切过点 的直线 , 均落在此圆上.(对于点 而言,如果有至少两条直线过 且在 下的像不为 ​,则圆 的选取是唯一的,如果仅有一条直线 过 且在 下的像不为 ,约定选取以 为直径的圆为 ,如果这样的直线不存在,则问题已经解决)
我们将证明:对于平面上的所有点,其在映射 下的像有一公共点 ,而且这就是我们所要求的 ,让我们从三个点的情形开始,考虑如下的构型:平面上不共线的三点 满足 互不相同,则容易证明 三个圆有公共点 ​. 但我们还不能将这一结论推广到平面上任意点的情况,因为有这样一种恼人的情形需要处理: 未必是互不相同的。
为此,考虑平面上的一个60×60的格点点阵 ,它的横线、纵线、斜线不超过120条,这些直线在 下的像集也就至多包含360个点,从而点阵中至少还有个3240点不是上述的直线中任意一条在 下的像,其中必然包含一个3×3的格点点阵,其中任两个点之间的连线在 下的像不是这两个点之一,于是,这个对格点点阵中的一切点,其在映射 中的像是经过同一个点 ,而对于平面上这个格点点阵之外的任意一点 ,由于圆 与格点点阵至多有6个交点,从剩下的点中选取两点 ,则 不能为 ,因为他们不在 中,也不能都为 ,否则 同时在 上,但这两个圆已经有了交点 和交点 ,而又因为这两个圆与直线 有三个交点,所以不能是同一个圆,这样就出现了矛盾. 因此,不妨设 不为 ,同样从格点点阵中选取 可以得到 不为 ,对 (或 )应用前一段的推导,知 也是过点 的。
现在,既然对平面上的一切点 均有 ​,那么对过点 的直线 ,​ 将导致对一切 有 ,这是不可能的,所以只能有 ,从而 就是满足要求的点 ;另一方面,如果有点 满足要求,考虑 立即得出 ,从而满足条件的点是唯一的。

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